Pembuktian dengan Kontradiksi

Di dalam matematika, ada beberapa metode untuk membuktikan kebenran sebuah pernyataan matematis. Saya akan membahas salah satunya yang disebut proof by contradiction alias membuktikan dengan mengkontradiksi.

Apa itu membuktikan dengan mengkontradiksi? Secara sederhana dapat dijelaskan bahwa untuk membuktikan bahwa suatu pernyataan matematika itu benar, maka harus dibuktikan bahwa kebalikannya mutlak bernilai salah.

Langkah – Langkah Membuktikan dengan Kontradiksi
Menurut Titu Andreescu dalam bukunya Putnam and Beyond, langkah-langkah pembuktian dengan metode ini adalah :



1. Asumsikan bahwa pernyataan yang dikemukakan salah.

2. Kemudian urutan logika yang dideduksi dari asumsi tersebut akan membawa kita kepada sebuah kesimpulan yang bertentangan dengan hipotesis yang diberikan (metode tak langsung) atau dengan sebuah fakta yang sudah diketahui benar (reduction ad absurdum).

3. Kontradiksi yang muncul memunculkan konsekuensi bahwa pernyataan yang asli pasti benar.

Menurut Aleams Barra, metode ini sering sesuai manakala kesimpulannya mudah untuk dinegasikan, ketika hipotesis hanya menyediakan sedikit substansi untuk dilakukan manipulasi padanya, atau ketika kita kehabisan ide untuk memecahkan suatu masalah.

Contoh Penggunaan Pembuktian dengan Kontradiksi
Metode ini adalah metode kegemaran Euclid. Berikut ini contoh pembuktian dengan kontradiksi dari bukunya Elements.

Teorema Euclid: Terdapat tak terhingga jumlah bilangan prima.

Bukti: Asumsikan sebaliknya, bahwa hanya ada sejumlah terhingga bilangan prima. Tuliskan mereka sebagai p1 = 2, p2 = 3, p3 = 5, …pn. Bilangan N = p1 p2 p3 …pn+ 1 dapat dibagi oleh bilangan prima p namun bersifat koprima (memiliki nilai faktor pembagian terbesar sama dengan satu) dengan N. Maka p tidak termasuk dalam daftar bilangan prima tadi yang bertentangan dengan asumsi awal. Kesimpulannya, asumsi awal bahwa ada sejumlah terhingga bilangan prima adalah salah dan membuktikan bahwa ada terhingga bilangan prima.

Coba Sendiri
1. Buktikan bahwa akar kuadrat dari dua adalah bilangan irasional.

2. Diberikan bahwa a, b, dan c adalah bilangan ganjil. Buktikan bahwa persamaan ax2 + bx + c = 0 tidak memiliki akar rasional.

Referensi
1. Titu Andreescu dan Razvan Gelca. 2007. Putnam and Beyond. Spinger Science + Business Media LLC: New York.

2. Aleams Barra. 2000. Problem Solving

Pembuktian dengan Kontradiksi