Metode Pembuktian
A Pendahuluan
Dalam Matematika kita tidak selalu untuk dituntut untuk mencari sebuah hasil dari sebuah masalah bahkan yang kita membuat sulit adalah kita dituntut untuk mencari sebuah bukti dari suatu pernyataan yang ada.
Pencarian sebuah bukti tidaklah segampang menjawab sebuah masalah. Dalam mengutarakan sebuah bukti kita harus mampu memandang setiap masalah dari sudut pandang manapun, menjadikan sebuah masalah menjadi sebuah hal yang lebih sederhana dan yang paling penting adalah kita harus mampu membuat orang lain mengerti serta harus sesuai dengan teori,fakta,kemutlakkan, yang berlaku dalam setiap masalah.

Metode pembuktian p→q
Langsung Tak langsung Dengan kontradiksi
Mulai p Mulai ~q Mulai p dan ~q
Langkah-langkah logika Langkah-langkah logika Langkah-langkah logika
Simpulan q Simpulan ~ p Simpulan (r dan ~ r

Dalam sebuah pernyataan, banyak sekali teori, hokum, yang dapat digunakan untuk memecahkan suatu masalah, maka dalam hal dalam proses pembuktian tidak menuntut kemungkinan jika kita mengutarakan sebuah teori ataupun hukum yang berlaku dalam matematika. Yang akan menjadi sebuah masalah adalah bagaimana kita mengutarakan suatu bukti yang kita ajukan dapat dimengerti dan dipahami oleh orang lain serta benar sesuai teori dan proses peninjauan kembali.

Problem

Buktikanlah pernyataan ini

1 Jika n bilangan bulat ganjil, maka n2 bilangan bulat ganjil
2 Jika n2 habis dibagi 3 maka n habis dibagi 3
3 Tidak ada bilangan prima a,b, dan c yang memenuhi a3 + b3 = c3
4 Jika m dan n bilangan bulat berturutan, maka 4 membagi habis m2 + n2 – 1
5 bukan bilangan rasional


Selengkapnya...

Di dalam matematika, ada beberapa metode untuk membuktikan kebenran sebuah pernyataan matematis. Saya akan membahas salah satunya yang disebut proof by contradiction alias membuktikan dengan mengkontradiksi.

Apa itu membuktikan dengan mengkontradiksi? Secara sederhana dapat dijelaskan bahwa untuk membuktikan bahwa suatu pernyataan matematika itu benar, maka harus dibuktikan bahwa kebalikannya mutlak bernilai salah.

Langkah – Langkah Membuktikan dengan Kontradiksi
Menurut Titu Andreescu dalam bukunya Putnam and Beyond, langkah-langkah pembuktian dengan metode ini adalah :



1. Asumsikan bahwa pernyataan yang dikemukakan salah.

2. Kemudian urutan logika yang dideduksi dari asumsi tersebut akan membawa kita kepada sebuah kesimpulan yang bertentangan dengan hipotesis yang diberikan (metode tak langsung) atau dengan sebuah fakta yang sudah diketahui benar (reduction ad absurdum).

3. Kontradiksi yang muncul memunculkan konsekuensi bahwa pernyataan yang asli pasti benar.

Menurut Aleams Barra, metode ini sering sesuai manakala kesimpulannya mudah untuk dinegasikan, ketika hipotesis hanya menyediakan sedikit substansi untuk dilakukan manipulasi padanya, atau ketika kita kehabisan ide untuk memecahkan suatu masalah.

Contoh Penggunaan Pembuktian dengan Kontradiksi
Metode ini adalah metode kegemaran Euclid. Berikut ini contoh pembuktian dengan kontradiksi dari bukunya Elements.

Teorema Euclid: Terdapat tak terhingga jumlah bilangan prima.

Bukti: Asumsikan sebaliknya, bahwa hanya ada sejumlah terhingga bilangan prima. Tuliskan mereka sebagai p1 = 2, p2 = 3, p3 = 5, …pn. Bilangan N = p1 p2 p3 …pn+ 1 dapat dibagi oleh bilangan prima p namun bersifat koprima (memiliki nilai faktor pembagian terbesar sama dengan satu) dengan N. Maka p tidak termasuk dalam daftar bilangan prima tadi yang bertentangan dengan asumsi awal. Kesimpulannya, asumsi awal bahwa ada sejumlah terhingga bilangan prima adalah salah dan membuktikan bahwa ada terhingga bilangan prima.

Coba Sendiri
1. Buktikan bahwa akar kuadrat dari dua adalah bilangan irasional.

2. Diberikan bahwa a, b, dan c adalah bilangan ganjil. Buktikan bahwa persamaan ax2 + bx + c = 0 tidak memiliki akar rasional.

Referensi
1. Titu Andreescu dan Razvan Gelca. 2007. Putnam and Beyond. Spinger Science + Business Media LLC: New York.

2. Aleams Barra. 2000. Problem Solving

Selengkapnya...

Salah satu dari ahli matematika kuno yang disebut dalam “Eudemian Summary” (sebuah riwayat yang jelas dan lengkap tentang geometri dan astronomi yang meliputi masa sebelum 355 M, ditulis oleh Eudemus, seorang murid Aristoteles) ialah Pythagoras. Oleh pengikut-pengikutnya ia selalu diliputi kabut misteri sehingga sedikit sekali yang dikenal orang tentang dirinya dengan cukup pasti. Sepertinya ia dilahirkan kira-kira 572 SM di pulau Samos di laut Agea. Ia ternyata telah melakukan perjalanan ke Mesir dan sekembalinya dari perjalanan, Samos telah berada di bawah penindasan orang-orang Persia, maka ia pun pindah ke Crotonoa (kota pelabuhan Yunani) yang terletak di Italia Selatan.

Disana ia mendirikan sekolah atau perguruan Pythagoras yang terkenal selain merupakan akademi untuk mempelajari filsafat, matematika dan ilmu pengetahuan alam, juga berkembang menjadi suatu persaudaraan yang terjalin erat dengan tatacara (ritual) dan kepatuhan rahasia. Pada suatu waktu pengaruh dan kecondongan-kecondongan aristokratis dari persaudaraan itu menjadi sangat besar. Sehingga kekuatan-kekuatan demokratis dari persaudaraan itu menjadi sangat besar. Sehingga kekuatan-kekuatan demokratis dari Italia Selatan menghancurkan bangunan-bangunan dari persaudaraan itu dan menyebabkannya bercerai-berai. Menurut suatu laporan, Pythagoras melarikan diri ke Metapontium dan meninggal dunia disana, mungkin karena pembunuhan pada usia lanjut antara 75-80 tahun. Sekalipun terpecah-pecah, persaudaraan itu masih tetap hidup sampai sekurang-kurangnya 2 abad setelahnya.
Filsafat Pythagoras berdasarkan anggapan bahwa bilangan bulat adalah penyebab dari bermacam-macam sifat dan zat. Hal ini menyebabkan pemujaan dan studi dari sifat-sifat bilangan dan aritmatika bersama dengan geometri, musik dan astronomi merupakan bagin pokok dari program kajian Pythagoras.

Karena ajarannya bersifat lisan dan karena persaudaraan itu mempunyai kebiasaan untuk mengembalikan semua penemuan pada pendiri yang dihormeti (Pythagoras), maka sulitlah sekarang mengetahui penemuan metematika mana yang merupakan jasa Pythagoras sendiri dan mana yang dari anggota lain dari persaudaraan tersebut.


Aritmatika Pythagoras
Iamblikus seorang ahli filsafat Neoplantonus yang berpengaruh kira-kira tahun 320 M menunjuk Pythagoras sebagai penemu bilangan-bilangan sahabat(friendly)/ amicable. Dua bilangan dikatakan bersahabat bila masing-masing merupakan jumlah dari “pembagi murni “/ “proper divisiors” dari bilangan yang lain, dimana pembagi murni dari suatu bilangan bulat positif N adalah semua pembagi bulat positif dari N kecuali N itu sendiri. Misalnya 284 dan 220 yang ditamukan Pythagoras. Keduanya bersahabat karena 220 mempunyai pembagi murni 1,2,4,5,10,11,20,22,44,55,110 yang apabila dijumlahkan =284. begitu pula 284 mempunyai pembagi murni 1,2,4,71,142 yang apabila dijumlahkan =220. bilangan ini diliputi aura gaib, bahkan ada yang mengatakan bahwa bila 2 jimat yang memuat bilangan ini akan memberi persahabatan yang sempurna pada pemakainya . selain itu bilangan ini mempunyai peranan yang besar dalam pertenungan, astrologi dan pembuatan horoskop. Sampai saat ini telah diketahui lebih dari 400 pasang bilangan bersahabat.

Selain itu masih ada lagi bilangan yang dianggap mempunyai sangkut-paut mistik, antara lain bilangan sempurna (perfect), bilangan berkekurangan (deficient/miskin) dan bilangan berkelebiha (abundant/makmur). Bilangan sempurna adalah bilangan bila jumlah pembagi murniny sama dengan bilangan itu sendiri, misalnya 28=1+2+4+7+14. dan kemudian Euclid merumuskan 2n-1 adalah bilangan prima, maka 2n-1(2n-1) adalah bilangan sempurna. Bilangan berkakurangan adalah bilangan yang jumlah pembagi murninya kurang daribilangan tersebut, misal 8<1+2+4.>bilangan tersebut, misalnya 12>1+2+3+4+6.

Tetapi tidak semua ahli sejarah matematika beranggapan bahwa bilangan amicable dan perfect berasal dari pengikut-pengikut Pythagoras, sepertinya terjadi kesepakatan yang bulat, bahwa bilangan-bilangan figurat (bilangan gambar) berasal dari mdzab yang terdahulu. Bilangan-bilangan ini dipandang sebagai jumlah titik dalam lukisan geometri tertentu merupakan mata rantai yang menghubungkan geometri dan aritmatika. Bayak teorema-teorema yang menarik yang memperlihatkan bilangan-bilangan gambar dapat ditampilkan dengan jelas dalam geometri murni. Contohnya teorema I, menjelaskan bahwa bilangan bujur sangkar adalah jumlah dari 2 bilangan segi tiga berturut-turut. Teorema II menjelaskan bahwa n bilangan segilima adalah n2+3*(n-1) bilangan segitiga. Tentu saja teorema ini bias dibuat secara aljabar. Secara jelas bahwa n bilangan segitiga=Tn diperoleh dari penjumlahan deret aritmatika:
Tn=1+2+3+…+n=[n(n+1)]/2
Maka n bilangan bjur sangkar=Sn adalah n2. teorema I kita buat secara aljabar dari identitas berikut:
Sn=n2=n(n+1)+(n-1)(n/2)=Tn+Tn+1
n bilangan segilima=Pn juga diperoleh dari penjumlahan deret aritmatika:
Pn=1+4+7+…+(3n-2)
=[n(3n-1)]/2
=n+(3n-1)/2
=n+3Tn-1
ini merupakan pembuktian dari teorema II. Yang terakhir dan penemuan yang paling luar biasa tentang bilanghan-bilangan yang dibuat oleh pengikut-pengikut Pythagoras, kita boleh menyebut ketergantungan interval-interval musik dalam perbandingan numeric. Para pengikut Pythsgoras menemukanbahwa untuk regangan-regangan di bawah sama ketegangannya, panjangnya harus 2:1 untuk oktav, 3:2 untuk ke-5, 4:3 untuk ke-4. hasil-hasil ini pertama kali dicatat dalam matematika fisika, pengikut-pengikut Pythagoras untuk berinisiatif dalam mempelajari sklala musik.

Teorema Pythagoras
Kebiasaan menganggap Pythagoras sebagai penemu teorema dalam segitiga siku-siku sekarang secara menyeluruh disebut dengan namanya bahwa kuadrat sis miring adalah jumlah kuadrat sisi-sisi lainya. Kita thu bahwa teorema ini dikenal orang-orang Babilonia pada masa Hamurabi lebih dari 1000 tahun yang lalu bhkan matematikawan India dalam Sulbasutra, Baudhaya dan Katayana),Yunani,dan Tionghoa, tapi pembuktian teorema ini secara matematis diberikan oleh Pythagoras. Ada bukti kontemporer yang bias dianggap sebagai catatan tertua mengenai teorema Pythagoras, salah satunya dapat ditemukan dalam Chou Pei Suan Ching (sekitar 500-200SM), dan yang satu lagi dalam buku Element of Euclid. Teorema Pythagoras manyatakan bahwa jumlah luas bujur sangkar pada kaki sebuah segitiga siku-siku sama dengan luas bujur sangkar di hipotenus. Sebuah segitiga siku-siku adalah segitiga yang mempunyai sebuah sudut siku-siku, kakinya adalah dua sisi yang membantuk sudut siku-siku tersebut, dan hipotenus adalah sisi ketiga yang berhadapan dengan sudut siku-siku tersebut. Menggunakan aljabar kita dapat mengformulasikan ulang teorema tersebut ke dalam pernyataan modern dengan mengambil catatan bahwa luas sebuah bujur sangkar adalah pangkat dua dari panjang sisinya. Jika sebuah segitiga siku-siku mempunyai kai dengan panjang a dan b dan hipotenus dengan panjang c, maka a2+b2=c2.
Tapi di sana masih terdapat banyak konjektif sebagai bukti bahwa Pythagoras masih dapat diganggu gugat dan secara umum boleh jadi bukti tersebut tergolong diseksi yang berikut ini:

Misalkan a,b merupakan sisi tegak dan c merupakan sisi miring sebuah segitiga siku-siku, dan perbandingan 2 bujursangkar (persegi) yang masing-masing dengan a,b sebagai sisinya. Dengan mengurangkan yang sama makabujur sangkar pada hipotenusa adaalah sama dengan jumlah bujursangkar-bujursangkar pada kaki-kaki. Untuk membuktikan bahwa potongan yang tengah dari diseksi yang kedua benar-benar persegi dengan sisi c, kita perlu memanfaatkan kenyataan bahwa jumlah sudut-sudut dari suatu segitiga siku-siku=2*sudut siku-siku. Tetapi ikhtisar Eudemus (Eudemian Summary) memang dalil segitiga yang umum ini berasal dari pengikut-pengikut Pythagoras. Karena pembuktian dari dalil ini sebaliknya memerlukan pengetahuan tentang beberapa sifat dari garis-garis sejajar, pengikut-pengikut Pythagoras yang terdahulu dipandang berjasa dalam mengembangkan teori itu.
Berhubungan dengan dalil Pythagoras adalah penentuan bilangan bulat a,b,c yang mewakili kaki-kaki dan sisi miring segitiga siku-siku. Suatu tripel dari bilangan-bilangan serupa ini dikenal sebagai tripel Pythagoras dan seperti analisa dari Plimton 322 memberikan bukti meyakinkan bahwa orang-orang Babylonia Kuno mengetahui cara untuk menghitung tripel serupa itu. Pengikut-pengikut Pythagoras dipandang pencipta rumus: m2+[(cm2-1)/2]2=[(cm2+1)/2]2, dengan m bilangan ganjil.
Rumus yang serupa untuk menghasilkan suatu tripel Pythagoras, yaitu: (2m)2+(m2-1)2 dengan m bilangan genap atau ganjil yang telah dibuat dengan maksud sama dianggap berasal dari Plato. Baik rumus pertama atau kedua tidak dapat menghasilkan semua tripel Pythagoras.

Penemuan Bilangan Irrasional
Bilangan rasional dapat ditafsirkan dengan geometri sederhana yaitu garis datar yang ditandai dengan titik 0 dan 1 (0 di sebelah kiri 1). Dari sini bilangan negatif ditunjukun pada titik-titik di sebelah kiri 0, bilangan bulat positif sebelah kanan 1 dan sedangkan pecahan ditunjukan dengan titik-titikyang membagi tiap satuan selisih dalam bagian yang sama. Akan tetapi masih terdapat titik pada garis itu yang tidak mewakili bilangan rasional manapun. Penemuan ini adalah salah satu hasil dari persaudaraan Pythagoras. Para pengikut Pythagoras menunjukan bahwa tidak ada bilangan rasional manapun yang manyatakan titik P dalam garis itu yang berjarak OP sebesar diagonal bujursangkar dengan sisi sebesar 1 satuan.
Sehingga perlu diciptakan bilangan baru untuk menyatakan bilangan itu., dari sinilah lahir bilangan irrasional. Untuk membuktikannya sama saja kita membuktikan 2 irrasional, yang kita buktikan dalam hal ini memisahkan 2 bilangan rasional, artinya 2=a/b, dimana a dan b bilangan bulat prima, maka:
2=a/b, a=b2 atau a2=2b2
Karena a2=2 kali suatu bilangan bulat, maka a2 genap sehingga a pun juga genap. Misalkan a=2c maka persamaannya menjadi:
4c2=2b2, 2c2=b2
sehingga b2 genap dan b pun juga genap. Tetapi ini tidak mungkin karena a dan b tidak mungkin genap karena merupakan bilangan prima relatif. Jadi asumsi bahwa 2 bersifat rasional itu mustahil dan harus dibatalkan.

Pembuktian lain yang bersifat geometris dengan menunjukan bahwa sisi diagonal dari suatu bujursangkar tidak mempunyai satuan ukuran yang sama. Sekarang kita misalkan sebaliknya, sesuai dengan permisalan ini maka akan ada sebuah segman AP sedemikian sehingga baik dari AP, artinya AC dan AB mempunyai satuan ukuran yang sama yaitu AP.
Pada AC ukurlahCB1=AB dan tariklah B1C1 tegak lurus CA. mudah dibuktikan bahwa C1B1=C1B=AB1, maka AC1=AB-AB1 dan AB1=AP. Tetapi AC1 dan ab1 adalah diagenal sisi dari suatu bujursangkar dengan ukuran yang lebih kecil dari ½ ukuran bujursangkar yang asli. Jadi mengulangi cara ini kita akhirnya akan manamukan suatu bujur sangkar dengan diagonal ACn dan sisi ABn yang dapat diukur dengan AP, sedang ACn
Bukti ini sebenarnya adalah bukti tradisional yang telah diketahui oleh Aristoteles (384-322 SM). Penemuan irrasional 2 ini menimbulkan sedikit kebingungan dalam barisan Pythagoras. Penemuan ini ternyata tidak hanya mengacaukan asumsi dasar bahwa segala sesuatu berlandaskan bilangan-bilangan bulat, tetapi karena batasan Pythagoras mengenai proporsi mengenggap bahwa semua ukuran sejenis dan ada satuan ukurannya yang sama maka semua dalil-dalil dalam teorema Pythagoras tentang proporsi harus dibatasi pada ukuran-ukuran bersatuan ukuran sama. Demikian besar skandal logika ini, sehingga beberapa waktu lamanya orang-orang berusaha untuk merahasiakan soal tersebut, bahkan ada cerita yang mengatakan bahwa seorang pengikut Pythagoras yaitu Hipasus mati terbenam dalam laut karena membuka rahasia ini kepada orang luar.
Untuk beberapa waktu lamanya 2 adalah satu-satunya bilangan irrasional yang dikenal. Baru kemudian menurut Plato, Thecdoris dari Cyrona menunjukan bahwa2, 5, 6, 8, 10, 11, 12, 13, 14, 17 juga merupakan bilangan irrasional. Kemudian sekitar 370 SM skandal itu diselesaikan oleh Eudoxus yang cemerlang, seorang murid Plato dan murid dari pengikut Pythagoras, Archytas dengan mengemukakan batasan baru tentang proporsi. Pembahasan Eudoxus yang ulung tentang ketiadaan satuan ukuran sama dimuat dalam buku ke V The Elements of Euclid dan pada dasarnya sama dengan uraian modern tentang bilangan-bilangan irrasional yang diberikan oleh Dedekind pada tahun 1872.

Pembahasan tentang segitiga serupa itu dalam perjalanan aritmatika sekolah lanjutan dewasa ini mencerminkan bahwa beberapa kesulitan dan kelembutan yang disebabkan ukuran-ukuran tak bersatuan.

Selengkapnya...

Seperti kita tahu bahwa alexa rank akan membuat peringkat berdasarkan banyaknya pengunjung blog atau web, semakin banyak pengunjung terhadap suatu blog atau web maka alexa rank akan semakin baik. Darimana alexa mengetahui jumlah kunjungan terhadap suatu web atau blog? alexa akan mengetahui jumlah kunjungan terhadap suatu web atau blog berdasarkan informasi dari komputer yang browser internetnya memasang alexa toolbar. Lho, kan tidak semua orang memasang alexa toolbar di browser internetnya? nah, justru itulah maka muncul alternatif lain bagi pemilik blog atau web untuk mendapatkan data yang akurat tentang banyaknya kunjungan yaitu dengan memasang alexa widget pada blog atau web yang di miliki. Dengan memasang alexa widget di blog, maka mesin alexa akan mengetahui secara akurat berapa pengunjung serta Page view (halaman yang di lihat) pada web atau blog anda.


Nah, jika anda berminat memasang alexa toolbar di blog anda namun masih bingung tentang bagaimana cara memasangnya, berikut adalah panduan langkah-langkahnya :

Langkah #1
klik di sini untuk menuju situs alexa.com
Masukan alamat blog anda pada kolom yang terdia. Contoh : agus-chandra.blogspot.com (tanpa http://), lalu klik tombol “Build Widget”.



Ada 3 ukuran widget yang bisa anda pilih, copy kode yang ada di sampingnya lalu paste pada notpad atau text editor lainnya. Simpan kode tersebut di komputer anda untuk nanti di masukan ke blog.


Langkah #2
Silahkan login ke blogger dengan ID anda.
Klik Tata Letak.
Klik tab Elemen Halaman.
Klik Tambah Gadget.
Klik tanda Plus (+) di samping tulisan HTML/JavaScript.


Paste kode yang tadi ada di notepad kedalam kolom yang muncul.

Klik tombol Simpan.

Pindahkan elemen yang baru anda buat tadi ke tempat yang anda inginkan, jika mau tentunya.

Jangan lupa klik tombol Simpan yang ada di sebelah atas.

Selesai.


Mudah-mudahan dengan di pasangnya widget alexa di blog anda, alexa rank blog anda akan cepat bagus (semakin kecil semakin baik rangkingnya).

Sedikit tambahan, alexa rank terbilang cepat dalam melakukan update sehingga hasilnya akan terlihat dalam beberapa hari saja. Satu yang paling utama dalam menaikan ranking alexa adalah dengan mencoba meningkatkan trafik atau jumlah kunjungan ke blog anda.

Selamat mencoba!

Selengkapnya...

Sudah tahukah anda dengan widget yang satu ini…?! Whos Among Us adalah suatu widget yang berfungsi untuk menganalisa status web / blog. Analisa yang dimaksud disini bukan analisa secara keseluruhan mengenai web / blog tersebut. Tapi..dengan memasang widget whos among us ini, para pengunjung web / blog atau yang punya, bisa tahu ada berapa user sih yang sedang nongkrongin web / blog tersebut. Nah…buat blogger yang belum pada tahu tentang gimana cara pasang widget tersebut, caranya sangat gampang. Tidak perlu login atau pun daftar dulu tinggal langsung menuju situs whos.among.us. Lalu coba ikutin petunjuk berikutnya.



Setelah menuju situs tersebut, silahkan perhatikan gambar seperti di bawah.


Nah…Kalian tinggal copy paste aja scriptnya ke page element blog kalian. Atau misalnya ga ingin pake script, tinggal klik aja tulisan non javascript (liat gambar). Jika sudah, maka widget yang akan tampil diblog kalian akan seperti ini :


Selain gambar widget seperti diatas, ada gambar widget lain (kalo misalnya kurang suka) yang bisa dipasang di blog. Caranya perhatikan gambar di bawah :


klik pada text showcase seperti yang ditunjukan gambar atau klik di sini. Setelah kalian klik akan muncul gambar seperti ini :


nah….silahkan pilih widget yang kalian suka dengan cara mengklik widget tersebut. Lalu ikutin petunjuk yang muncul dibawahnya.

Ok…have a nice blogging……

Selengkapnya...

How to track and show visitors' flag

Untuk melacak dan menampilkan bendera asal pengunjung blog dan juga jumlah pengunjung blog yang berasal dari negara tertentu, bisa dengan memasang flag counter widget di sidebar blog. Widget ini selain menampilkan bendera asal pengunjung dan jumlah pengunjung yang berasal dari negara tertentu, juga dapat menampilkan banyaknya Page view blog.



Untuk mendapatkan kode HTML-nya secara gratis bisa klik di sini.


Setelah itu akan ditampilkan halaman depan dari situs FLAG COUNTER. Aturlah (customize) komposisi widget s esuai keinginan, lalu tekan tombol GET YOUR FLAG COUNTER



Setelah itu akan ditampikan halaman dengan kolom kode HTML. Kopi kode tersebut.



Setelah kodenya didapat, login ke Blogspot --> Tata Letak --> Elemen Halaman.

Setelah itu tekan link Tambah Gadget dan pilih gadget HTML/JavaScript dan masukan kode yang didapat tadi kedalamnya lalu simpan. Nah sekarang blog sudah dapat menampilkan bendera pengunjung blog. Selamat mencoba...


Selengkapnya...

Foundation of mathematics divide of two, that is:

1. Constant foundation
example: to confirm the bough of geometry as the foundation.
2. Progress foundation
example: foundation of epistemology (science which studied the sources of knowledge) that is the foundations which not appear.

Mathematics be for5med with critical math, that is:
- Synthetic appriory
- Mathematics analytic, that is contradiction.
For example: 2+3 not yet sure 5 (seed from the based). Contradiction in mind can produce the science, science be formed upon growing that a mathematics.


Intuition is general person of feeling, that is a container where place be mathematics.
For example: Brower, his mind about mathematics there is in space and time.

Some kind of mathematics:
- mathematics as language
- mathematics as bough of knowledge
- mathematics as structure

Selengkapnya...