Metode Pembuktian
A Pendahuluan
Dalam Matematika kita tidak selalu untuk dituntut untuk mencari sebuah hasil dari sebuah masalah bahkan yang kita membuat sulit adalah kita dituntut untuk mencari sebuah bukti dari suatu pernyataan yang ada.
Pencarian sebuah bukti tidaklah segampang menjawab sebuah masalah. Dalam mengutarakan sebuah bukti kita harus mampu memandang setiap masalah dari sudut pandang manapun, menjadikan sebuah masalah menjadi sebuah hal yang lebih sederhana dan yang paling penting adalah kita harus mampu membuat orang lain mengerti serta harus sesuai dengan teori,fakta,kemutlakkan, yang berlaku dalam setiap masalah.

Metode pembuktian p→q
Langsung Tak langsung Dengan kontradiksi
Mulai p Mulai ~q Mulai p dan ~q
Langkah-langkah logika Langkah-langkah logika Langkah-langkah logika
Simpulan q Simpulan ~ p Simpulan (r dan ~ r

Dalam sebuah pernyataan, banyak sekali teori, hokum, yang dapat digunakan untuk memecahkan suatu masalah, maka dalam hal dalam proses pembuktian tidak menuntut kemungkinan jika kita mengutarakan sebuah teori ataupun hukum yang berlaku dalam matematika. Yang akan menjadi sebuah masalah adalah bagaimana kita mengutarakan suatu bukti yang kita ajukan dapat dimengerti dan dipahami oleh orang lain serta benar sesuai teori dan proses peninjauan kembali.

Problem

Buktikanlah pernyataan ini

1 Jika n bilangan bulat ganjil, maka n2 bilangan bulat ganjil
2 Jika n2 habis dibagi 3 maka n habis dibagi 3
3 Tidak ada bilangan prima a,b, dan c yang memenuhi a3 + b3 = c3
4 Jika m dan n bilangan bulat berturutan, maka 4 membagi habis m2 + n2 – 1
5 bukan bilangan rasional


Selengkapnya...

Di dalam matematika, ada beberapa metode untuk membuktikan kebenran sebuah pernyataan matematis. Saya akan membahas salah satunya yang disebut proof by contradiction alias membuktikan dengan mengkontradiksi.

Apa itu membuktikan dengan mengkontradiksi? Secara sederhana dapat dijelaskan bahwa untuk membuktikan bahwa suatu pernyataan matematika itu benar, maka harus dibuktikan bahwa kebalikannya mutlak bernilai salah.

Langkah – Langkah Membuktikan dengan Kontradiksi
Menurut Titu Andreescu dalam bukunya Putnam and Beyond, langkah-langkah pembuktian dengan metode ini adalah :



1. Asumsikan bahwa pernyataan yang dikemukakan salah.

2. Kemudian urutan logika yang dideduksi dari asumsi tersebut akan membawa kita kepada sebuah kesimpulan yang bertentangan dengan hipotesis yang diberikan (metode tak langsung) atau dengan sebuah fakta yang sudah diketahui benar (reduction ad absurdum).

3. Kontradiksi yang muncul memunculkan konsekuensi bahwa pernyataan yang asli pasti benar.

Menurut Aleams Barra, metode ini sering sesuai manakala kesimpulannya mudah untuk dinegasikan, ketika hipotesis hanya menyediakan sedikit substansi untuk dilakukan manipulasi padanya, atau ketika kita kehabisan ide untuk memecahkan suatu masalah.

Contoh Penggunaan Pembuktian dengan Kontradiksi
Metode ini adalah metode kegemaran Euclid. Berikut ini contoh pembuktian dengan kontradiksi dari bukunya Elements.

Teorema Euclid: Terdapat tak terhingga jumlah bilangan prima.

Bukti: Asumsikan sebaliknya, bahwa hanya ada sejumlah terhingga bilangan prima. Tuliskan mereka sebagai p1 = 2, p2 = 3, p3 = 5, …pn. Bilangan N = p1 p2 p3 …pn+ 1 dapat dibagi oleh bilangan prima p namun bersifat koprima (memiliki nilai faktor pembagian terbesar sama dengan satu) dengan N. Maka p tidak termasuk dalam daftar bilangan prima tadi yang bertentangan dengan asumsi awal. Kesimpulannya, asumsi awal bahwa ada sejumlah terhingga bilangan prima adalah salah dan membuktikan bahwa ada terhingga bilangan prima.

Coba Sendiri
1. Buktikan bahwa akar kuadrat dari dua adalah bilangan irasional.

2. Diberikan bahwa a, b, dan c adalah bilangan ganjil. Buktikan bahwa persamaan ax2 + bx + c = 0 tidak memiliki akar rasional.

Referensi
1. Titu Andreescu dan Razvan Gelca. 2007. Putnam and Beyond. Spinger Science + Business Media LLC: New York.

2. Aleams Barra. 2000. Problem Solving

Selengkapnya...

Salah satu dari ahli matematika kuno yang disebut dalam “Eudemian Summary” (sebuah riwayat yang jelas dan lengkap tentang geometri dan astronomi yang meliputi masa sebelum 355 M, ditulis oleh Eudemus, seorang murid Aristoteles) ialah Pythagoras. Oleh pengikut-pengikutnya ia selalu diliputi kabut misteri sehingga sedikit sekali yang dikenal orang tentang dirinya dengan cukup pasti. Sepertinya ia dilahirkan kira-kira 572 SM di pulau Samos di laut Agea. Ia ternyata telah melakukan perjalanan ke Mesir dan sekembalinya dari perjalanan, Samos telah berada di bawah penindasan orang-orang Persia, maka ia pun pindah ke Crotonoa (kota pelabuhan Yunani) yang terletak di Italia Selatan.

Disana ia mendirikan sekolah atau perguruan Pythagoras yang terkenal selain merupakan akademi untuk mempelajari filsafat, matematika dan ilmu pengetahuan alam, juga berkembang menjadi suatu persaudaraan yang terjalin erat dengan tatacara (ritual) dan kepatuhan rahasia. Pada suatu waktu pengaruh dan kecondongan-kecondongan aristokratis dari persaudaraan itu menjadi sangat besar. Sehingga kekuatan-kekuatan demokratis dari persaudaraan itu menjadi sangat besar. Sehingga kekuatan-kekuatan demokratis dari Italia Selatan menghancurkan bangunan-bangunan dari persaudaraan itu dan menyebabkannya bercerai-berai. Menurut suatu laporan, Pythagoras melarikan diri ke Metapontium dan meninggal dunia disana, mungkin karena pembunuhan pada usia lanjut antara 75-80 tahun. Sekalipun terpecah-pecah, persaudaraan itu masih tetap hidup sampai sekurang-kurangnya 2 abad setelahnya.
Filsafat Pythagoras berdasarkan anggapan bahwa bilangan bulat adalah penyebab dari bermacam-macam sifat dan zat. Hal ini menyebabkan pemujaan dan studi dari sifat-sifat bilangan dan aritmatika bersama dengan geometri, musik dan astronomi merupakan bagin pokok dari program kajian Pythagoras.

Karena ajarannya bersifat lisan dan karena persaudaraan itu mempunyai kebiasaan untuk mengembalikan semua penemuan pada pendiri yang dihormeti (Pythagoras), maka sulitlah sekarang mengetahui penemuan metematika mana yang merupakan jasa Pythagoras sendiri dan mana yang dari anggota lain dari persaudaraan tersebut.


Aritmatika Pythagoras
Iamblikus seorang ahli filsafat Neoplantonus yang berpengaruh kira-kira tahun 320 M menunjuk Pythagoras sebagai penemu bilangan-bilangan sahabat(friendly)/ amicable. Dua bilangan dikatakan bersahabat bila masing-masing merupakan jumlah dari “pembagi murni “/ “proper divisiors” dari bilangan yang lain, dimana pembagi murni dari suatu bilangan bulat positif N adalah semua pembagi bulat positif dari N kecuali N itu sendiri. Misalnya 284 dan 220 yang ditamukan Pythagoras. Keduanya bersahabat karena 220 mempunyai pembagi murni 1,2,4,5,10,11,20,22,44,55,110 yang apabila dijumlahkan =284. begitu pula 284 mempunyai pembagi murni 1,2,4,71,142 yang apabila dijumlahkan =220. bilangan ini diliputi aura gaib, bahkan ada yang mengatakan bahwa bila 2 jimat yang memuat bilangan ini akan memberi persahabatan yang sempurna pada pemakainya . selain itu bilangan ini mempunyai peranan yang besar dalam pertenungan, astrologi dan pembuatan horoskop. Sampai saat ini telah diketahui lebih dari 400 pasang bilangan bersahabat.

Selain itu masih ada lagi bilangan yang dianggap mempunyai sangkut-paut mistik, antara lain bilangan sempurna (perfect), bilangan berkekurangan (deficient/miskin) dan bilangan berkelebiha (abundant/makmur). Bilangan sempurna adalah bilangan bila jumlah pembagi murniny sama dengan bilangan itu sendiri, misalnya 28=1+2+4+7+14. dan kemudian Euclid merumuskan 2n-1 adalah bilangan prima, maka 2n-1(2n-1) adalah bilangan sempurna. Bilangan berkakurangan adalah bilangan yang jumlah pembagi murninya kurang daribilangan tersebut, misal 8<1+2+4.>bilangan tersebut, misalnya 12>1+2+3+4+6.

Tetapi tidak semua ahli sejarah matematika beranggapan bahwa bilangan amicable dan perfect berasal dari pengikut-pengikut Pythagoras, sepertinya terjadi kesepakatan yang bulat, bahwa bilangan-bilangan figurat (bilangan gambar) berasal dari mdzab yang terdahulu. Bilangan-bilangan ini dipandang sebagai jumlah titik dalam lukisan geometri tertentu merupakan mata rantai yang menghubungkan geometri dan aritmatika. Bayak teorema-teorema yang menarik yang memperlihatkan bilangan-bilangan gambar dapat ditampilkan dengan jelas dalam geometri murni. Contohnya teorema I, menjelaskan bahwa bilangan bujur sangkar adalah jumlah dari 2 bilangan segi tiga berturut-turut. Teorema II menjelaskan bahwa n bilangan segilima adalah n2+3*(n-1) bilangan segitiga. Tentu saja teorema ini bias dibuat secara aljabar. Secara jelas bahwa n bilangan segitiga=Tn diperoleh dari penjumlahan deret aritmatika:
Tn=1+2+3+…+n=[n(n+1)]/2
Maka n bilangan bjur sangkar=Sn adalah n2. teorema I kita buat secara aljabar dari identitas berikut:
Sn=n2=n(n+1)+(n-1)(n/2)=Tn+Tn+1
n bilangan segilima=Pn juga diperoleh dari penjumlahan deret aritmatika:
Pn=1+4+7+…+(3n-2)
=[n(3n-1)]/2
=n+(3n-1)/2
=n+3Tn-1
ini merupakan pembuktian dari teorema II. Yang terakhir dan penemuan yang paling luar biasa tentang bilanghan-bilangan yang dibuat oleh pengikut-pengikut Pythagoras, kita boleh menyebut ketergantungan interval-interval musik dalam perbandingan numeric. Para pengikut Pythsgoras menemukanbahwa untuk regangan-regangan di bawah sama ketegangannya, panjangnya harus 2:1 untuk oktav, 3:2 untuk ke-5, 4:3 untuk ke-4. hasil-hasil ini pertama kali dicatat dalam matematika fisika, pengikut-pengikut Pythagoras untuk berinisiatif dalam mempelajari sklala musik.

Teorema Pythagoras
Kebiasaan menganggap Pythagoras sebagai penemu teorema dalam segitiga siku-siku sekarang secara menyeluruh disebut dengan namanya bahwa kuadrat sis miring adalah jumlah kuadrat sisi-sisi lainya. Kita thu bahwa teorema ini dikenal orang-orang Babilonia pada masa Hamurabi lebih dari 1000 tahun yang lalu bhkan matematikawan India dalam Sulbasutra, Baudhaya dan Katayana),Yunani,dan Tionghoa, tapi pembuktian teorema ini secara matematis diberikan oleh Pythagoras. Ada bukti kontemporer yang bias dianggap sebagai catatan tertua mengenai teorema Pythagoras, salah satunya dapat ditemukan dalam Chou Pei Suan Ching (sekitar 500-200SM), dan yang satu lagi dalam buku Element of Euclid. Teorema Pythagoras manyatakan bahwa jumlah luas bujur sangkar pada kaki sebuah segitiga siku-siku sama dengan luas bujur sangkar di hipotenus. Sebuah segitiga siku-siku adalah segitiga yang mempunyai sebuah sudut siku-siku, kakinya adalah dua sisi yang membantuk sudut siku-siku tersebut, dan hipotenus adalah sisi ketiga yang berhadapan dengan sudut siku-siku tersebut. Menggunakan aljabar kita dapat mengformulasikan ulang teorema tersebut ke dalam pernyataan modern dengan mengambil catatan bahwa luas sebuah bujur sangkar adalah pangkat dua dari panjang sisinya. Jika sebuah segitiga siku-siku mempunyai kai dengan panjang a dan b dan hipotenus dengan panjang c, maka a2+b2=c2.
Tapi di sana masih terdapat banyak konjektif sebagai bukti bahwa Pythagoras masih dapat diganggu gugat dan secara umum boleh jadi bukti tersebut tergolong diseksi yang berikut ini:

Misalkan a,b merupakan sisi tegak dan c merupakan sisi miring sebuah segitiga siku-siku, dan perbandingan 2 bujursangkar (persegi) yang masing-masing dengan a,b sebagai sisinya. Dengan mengurangkan yang sama makabujur sangkar pada hipotenusa adaalah sama dengan jumlah bujursangkar-bujursangkar pada kaki-kaki. Untuk membuktikan bahwa potongan yang tengah dari diseksi yang kedua benar-benar persegi dengan sisi c, kita perlu memanfaatkan kenyataan bahwa jumlah sudut-sudut dari suatu segitiga siku-siku=2*sudut siku-siku. Tetapi ikhtisar Eudemus (Eudemian Summary) memang dalil segitiga yang umum ini berasal dari pengikut-pengikut Pythagoras. Karena pembuktian dari dalil ini sebaliknya memerlukan pengetahuan tentang beberapa sifat dari garis-garis sejajar, pengikut-pengikut Pythagoras yang terdahulu dipandang berjasa dalam mengembangkan teori itu.
Berhubungan dengan dalil Pythagoras adalah penentuan bilangan bulat a,b,c yang mewakili kaki-kaki dan sisi miring segitiga siku-siku. Suatu tripel dari bilangan-bilangan serupa ini dikenal sebagai tripel Pythagoras dan seperti analisa dari Plimton 322 memberikan bukti meyakinkan bahwa orang-orang Babylonia Kuno mengetahui cara untuk menghitung tripel serupa itu. Pengikut-pengikut Pythagoras dipandang pencipta rumus: m2+[(cm2-1)/2]2=[(cm2+1)/2]2, dengan m bilangan ganjil.
Rumus yang serupa untuk menghasilkan suatu tripel Pythagoras, yaitu: (2m)2+(m2-1)2 dengan m bilangan genap atau ganjil yang telah dibuat dengan maksud sama dianggap berasal dari Plato. Baik rumus pertama atau kedua tidak dapat menghasilkan semua tripel Pythagoras.

Penemuan Bilangan Irrasional
Bilangan rasional dapat ditafsirkan dengan geometri sederhana yaitu garis datar yang ditandai dengan titik 0 dan 1 (0 di sebelah kiri 1). Dari sini bilangan negatif ditunjukun pada titik-titik di sebelah kiri 0, bilangan bulat positif sebelah kanan 1 dan sedangkan pecahan ditunjukan dengan titik-titikyang membagi tiap satuan selisih dalam bagian yang sama. Akan tetapi masih terdapat titik pada garis itu yang tidak mewakili bilangan rasional manapun. Penemuan ini adalah salah satu hasil dari persaudaraan Pythagoras. Para pengikut Pythagoras menunjukan bahwa tidak ada bilangan rasional manapun yang manyatakan titik P dalam garis itu yang berjarak OP sebesar diagonal bujursangkar dengan sisi sebesar 1 satuan.
Sehingga perlu diciptakan bilangan baru untuk menyatakan bilangan itu., dari sinilah lahir bilangan irrasional. Untuk membuktikannya sama saja kita membuktikan 2 irrasional, yang kita buktikan dalam hal ini memisahkan 2 bilangan rasional, artinya 2=a/b, dimana a dan b bilangan bulat prima, maka:
2=a/b, a=b2 atau a2=2b2
Karena a2=2 kali suatu bilangan bulat, maka a2 genap sehingga a pun juga genap. Misalkan a=2c maka persamaannya menjadi:
4c2=2b2, 2c2=b2
sehingga b2 genap dan b pun juga genap. Tetapi ini tidak mungkin karena a dan b tidak mungkin genap karena merupakan bilangan prima relatif. Jadi asumsi bahwa 2 bersifat rasional itu mustahil dan harus dibatalkan.

Pembuktian lain yang bersifat geometris dengan menunjukan bahwa sisi diagonal dari suatu bujursangkar tidak mempunyai satuan ukuran yang sama. Sekarang kita misalkan sebaliknya, sesuai dengan permisalan ini maka akan ada sebuah segman AP sedemikian sehingga baik dari AP, artinya AC dan AB mempunyai satuan ukuran yang sama yaitu AP.
Pada AC ukurlahCB1=AB dan tariklah B1C1 tegak lurus CA. mudah dibuktikan bahwa C1B1=C1B=AB1, maka AC1=AB-AB1 dan AB1=AP. Tetapi AC1 dan ab1 adalah diagenal sisi dari suatu bujursangkar dengan ukuran yang lebih kecil dari ½ ukuran bujursangkar yang asli. Jadi mengulangi cara ini kita akhirnya akan manamukan suatu bujur sangkar dengan diagonal ACn dan sisi ABn yang dapat diukur dengan AP, sedang ACn
Bukti ini sebenarnya adalah bukti tradisional yang telah diketahui oleh Aristoteles (384-322 SM). Penemuan irrasional 2 ini menimbulkan sedikit kebingungan dalam barisan Pythagoras. Penemuan ini ternyata tidak hanya mengacaukan asumsi dasar bahwa segala sesuatu berlandaskan bilangan-bilangan bulat, tetapi karena batasan Pythagoras mengenai proporsi mengenggap bahwa semua ukuran sejenis dan ada satuan ukurannya yang sama maka semua dalil-dalil dalam teorema Pythagoras tentang proporsi harus dibatasi pada ukuran-ukuran bersatuan ukuran sama. Demikian besar skandal logika ini, sehingga beberapa waktu lamanya orang-orang berusaha untuk merahasiakan soal tersebut, bahkan ada cerita yang mengatakan bahwa seorang pengikut Pythagoras yaitu Hipasus mati terbenam dalam laut karena membuka rahasia ini kepada orang luar.
Untuk beberapa waktu lamanya 2 adalah satu-satunya bilangan irrasional yang dikenal. Baru kemudian menurut Plato, Thecdoris dari Cyrona menunjukan bahwa2, 5, 6, 8, 10, 11, 12, 13, 14, 17 juga merupakan bilangan irrasional. Kemudian sekitar 370 SM skandal itu diselesaikan oleh Eudoxus yang cemerlang, seorang murid Plato dan murid dari pengikut Pythagoras, Archytas dengan mengemukakan batasan baru tentang proporsi. Pembahasan Eudoxus yang ulung tentang ketiadaan satuan ukuran sama dimuat dalam buku ke V The Elements of Euclid dan pada dasarnya sama dengan uraian modern tentang bilangan-bilangan irrasional yang diberikan oleh Dedekind pada tahun 1872.

Pembahasan tentang segitiga serupa itu dalam perjalanan aritmatika sekolah lanjutan dewasa ini mencerminkan bahwa beberapa kesulitan dan kelembutan yang disebabkan ukuran-ukuran tak bersatuan.

Selengkapnya...

Foundation of mathematics divide of two, that is:

1. Constant foundation
example: to confirm the bough of geometry as the foundation.
2. Progress foundation
example: foundation of epistemology (science which studied the sources of knowledge) that is the foundations which not appear.

Mathematics be for5med with critical math, that is:
- Synthetic appriory
- Mathematics analytic, that is contradiction.
For example: 2+3 not yet sure 5 (seed from the based). Contradiction in mind can produce the science, science be formed upon growing that a mathematics.


Intuition is general person of feeling, that is a container where place be mathematics.
For example: Brower, his mind about mathematics there is in space and time.

Some kind of mathematics:
- mathematics as language
- mathematics as bough of knowledge
- mathematics as structure

Selengkapnya...

Secara Geografis

1. Mesopotamia
- Menentukan system bilangan pertama kali
- Menemukan system berat dan ukur
- Tahun 2500 SM system desimal tidak lagi digunakan dan lidi diganti oleh notasi berbentuk baji

2. Babilonia
- Menggunakan sitem desimal dan π=3,125
- Penemu kalkulator pertama kali
- Mengenal geometri sebagai basis perhitungan astronomi
- Menggunakan pendekatan untuk akar kuadrat
- Geometrinya bersifat aljabaris
- Aritmatika tumbuh dan berkembang baik menjadi aljabar retoris yang berkembang
- Sudah mengenal teorema Pythagoras

3. Mesir Kuno
- Sudah mengenal rumus untuk menghitung luas dan isi
- Mengenal system bilangan dan symbol pada tahun 3100 SM
-Mengenal tripel Pythagoras
- Sitem angka bercorak aditif dan aritmatika
- Tahun 300 SM menggunakan system bilangan berbasis 10

4. Yunani Kuno
- Pythagoras membuktikan teorema Pythagoras secara matematis (terbaik)
- Pencetus awal konsep[ nol adalah Al Khwarizmi
- Archimedes mencetuskan nama parabola, yang artinya bagian sudut kanan kerucut
- Hipassus penemu bilangan irrasional
- Diophantus penemu aritmatika (pembahasan teori-teori bilangan yang isinya merupakan pengembangan aljabar yang dilakukan dengan membuat sebuah persamaan)
- Archimedes membuat geometri bidang datar
- Mengenal bilangan prima


5. India
- Brahmagyupta lahir pada 598-660 Ad
- Aryabtha (4018 SM) menemukan hubungan keliling sebuah lingkaran
- Memperkenalkan pemakaian nol dan desimal
- Brahmagyupta menemukan bilangan negatif
- Rumus a2+b2+c2 telah ada pada “Sulbasutra”
- Geometrinya sudah mengenal tripel Pythagoras,teorema Pythagoras,transformasi dan segitiga pascal


6. China
- Mengenal sifat-sifat segitiga siku-siku tahun 3000 SM
- Mengembangkan angka negatif, bilangan desimal, system desimal, system biner, aljabar, geometri, trigonometri dan kalkulus
- Telah menemukan metode untuk memecahkan beberapa jenis persamaan yaitu persamaan kuadrat, kubikdan qualitik
- Aljabarnya menggunakan system horner untuk menyelesaikan persamaan kuadrat


Berdasarkan Tokoh

1. Thales (624-550 SM)
Dapat disebut matematikawan pertama yang merumuskan teorema atau proposisi, dimana tradisi ini menjadi lebih jelas setelah dijabarkan oleh Euclid. Landasan matematika sebagai ilmu terapan rupanya sudah diletakan oleh Thales sebelum muncul Pythagoras yang membuat bilangan.

2. Pythagoras (582-496 SM)
Pythagoras adalah orang yang pertama kali mencetuskan aksioma-aksioma, postulat-postulat yang perlu dijabarkan ter lebih dahulu dalam mengembangkan geometri. Pythagoras bukan orang yang menemukan suatu teorema Pythagoras namun dia berhasil membuat pembuktian matematis. Persaudaraan Pythagoras menemukan 2 sebagai bilangan irrasional.

3. Socrates (427-347 SM)
Ia merupakan seorang filosofi besar dari Yunani. Dia juga menjadi pencipta ajaran serba cita, karena itu filosofinya dinamakan idealisme. Ajarannya lahir karena pergaulannya dengan kaum sofis. Plato merupakan ahli piker pertama yang menerima paham adanya alam bukan benda.

4. Ecluides (325-265 SM)
Euklides disebut sebagai “Bapak Geometri” karena menemuka teori bilangan dan geometri. Subyek-subyek yang dibahas adalah bentuk-bentuk, teorema Pythagoras, persamaan dalam aljabar, lingkaran, tangen,geometri ruang, teori proporsi dan lain-lain. Alat-alat temuan Eukluides antara lain mistar dan jangka.

5. Archimedes (287-212 SM)
Dia mengaplikasikan prinsip fisika dan matematika. Dan juga menemukan perhitungan π (pi) dalam menghitung luas lingkaran. Ia adalah ahli matematika terbesar sepanjang zaman dan di zaman kuno. Tiga kaaarya Archimedes membahas geometri bidang datar, yaitu pengukuran lingkaran, kuadratur dari parabola dan spiral.

6. Appolonius (262-190 SM)
Konsepnya mengenai parabola, hiperbola, dan elips banyak memberi sumbangan bagi astronomi modern. Ia merupakan seorang matematikawan tang ahli dalam geometri. Teorema Appolonius menghubungkan beberapa unsur dalam segitiga.
7. Diophantus (250-200 SM)
Ia merupakan “Bapak Aljabar” bagi Babilonia yang mengembangkan konsep-konsep aljabar Babilonia. Seorang matematikawan Yunani yang bermukim di Iskandaria. Karya besar Diophantus berupa buku aritmatika, buku karangan pertama tentang system aljabar. Bagian yang terpelihara dari aritmatika Diophantus berisi pemecahan kira-kira 130 soal yang menghasilkan persamaan-persamaan tingkat pertama.
Selengkapnya...

Pertanyaan tersebut lumayan sering muncul ketika beberapa orang dianjurkan dengan paksa ataupun tidak paksa untuk belajar Matematika. Tidak tahu apakah pertanyaan itu muncul sebagai wujud nyata dari ke-kritis-an seseorang atau justru muncul sebagai refleksi atas ke-apatis-an seseorang terhadap Matematika?

Ilmu Matematika diantaranya meliputi aritmatika, geometri, aljabar dll sehingga kalau mau sok idealis tentu saja banyak manfaat Matematika untuk ilmu pengetahuan lain dan juga untuk kehidupan, misalnya:


Kombinasi (Statistika) bisa digunakan untuk mengetahui banyaknya formasi tim bola voli yang bisa dibentuk.

Aritmatika hampir digunakan setiap hari, yaitu untuk hitung-menghitung.

Geometri bisa digunakan para ahli sipil karena geometri salah satunya adalah membahas tentang bangun dan keruangan.

Aljabar bisa digunakan untuk memecahkan masalah bagaimana memperoleh laba sebanyak mungkin dengan biaya sesedikit mungkin.

Mungkin dengan logika Matematika juga bisa membantu untuk berpikir logis, tapi tentu saja bukan hanya Matematika saja yang bisa membantu dalam berpikir logis.

Selengkapnya...

Matematika Diskrit (discrete mathematics) adalah salah satu cabang dari matematika yang mempelajari objek-objek diskrit. Diskrit artinya tidak terhubung (unconnected), misalnya bilangan riil adalah objek terhubung sedangkan bilangan bulat adalah objek yang tidak terhubung. Diantara contoh permasalahan yang ditangani oleh Matematika Diskrit dapat dilihat pada pertanyaan-pertanyaan berikut ini:

– Ada berapa buah kombinasi password yang mungkin untuk mengakses sebuah komputer?
– Berapakah peluang seseorang untuk memenangkan undian?
– Apakah dua komputer dalam suatu jaringan saling terhubung?
– Yang manakah lintasan terpendek antara dua kota yang dihubungkan dengan jalan raya?
– Bagaimana cara mengurutkan sekumpulan bilangan bulat?
– Ada berapa banyak langkah yang diperlukan untuk mengurutkan bilangan-bilangan tersebut?
– Bagaimana cara merancang suatu rangkaian dijital?
– Ada berapa banyak alamat internet (IP address) yang bisa dibuat?


Mengapa Matematika Diskrit perlu dipelajari? Saat ini komputer dijital telah menjadi bagian penting dari kehidupan manusia. Komputer beroperasi secara diskrit dengan unit terkecil yg disebut sebagai bit. Dengan demikian, baik rangkaian penyusun komputer dan juga operasi eksekusi (algoritma) hanya dapat dijelaskan dengan Matematika Diskrit. Untuk mempelajari Matematika Diskrit diperlukan beberapa perangkat atau dasar matematika yang perlu dikuasai, yaitu:
• Logika Matematika (Mathematical Logic)
• Teori Himpunan (Set Theory)
• Fungsi (Functions)
• Barisan (Sequences)
yang semuanya pernah dipelajari di tingkat dasar.

Selengkapnya...

Pendidikan matematika di tanah air saat ini sedang mengalami perubahan paradigma. Terdapat kesadaran yang kuat, terutama di kalangan pengambil kebijakan, untuk memperbaharui pendidikan matematika. Tujuannya adalah agar pembelajaran matematika lebih bermakna bagi siswa dan dapat memberikan bekal kompetensi yang memadai baik untuk studi lanjut maupun untuk memasuki dunia kerja (Sutarto Hadi: 2008). Paradigma baru pendidikan lebih menekankan pada peserta didik sebagai manusia yang memiliki potensi untuk belajar dan berkembang. Siswa harus aktif dalam pencarian dan pengembangan pengetahuan. Kebenaran ilmu tidak terbatas pada apa yang disampaikan oleh guru. Guru harus mengubah perannya, tidak lagi sebagai pemegang otoritas tertinggi keilmuan dan indoktriner, tetapi menjadi fasilitator yang membimbing siswa ke arah pembentukan pengetahuan oleh diri mereka sendiri. Melalui paradigma baru tersebut diharapkan di kelas siswa aktif dalam belajar, aktif berdiskusi, berani menyampaikan gagasan dan menerima gagasan dan orang lain, dan memiliki kepercayaan diri yang tinggi (Zamroni, 2000).


Selama ini matematika matematika dianggap sebagai pelajaran yang sulit oleh sebagian besar siswa. Anggapan ini tidak terlepas dari persepsi yang berkembang di masyarakat tentang matematika. Anggapan banyak orang bahwa matematika pelajaran yang sulit tanpa disadari telah mengkooptasi pikiran siswa. Sehingga siswa juga beranggapan demikian, ketika berhadapan dengan matematika. Pandangan bahwa matematika ilmu yang kering, abstrak, teoritis, penuh dengan lambang-lambang dan rumus yang sulit dan membinggungkan. Anggapan ini ikut membentuk persepsi negatif siswa terhadap matematika. Akibatnya pelajaran matematika tidak dipandang secara objektif lagi. Matematika sebagai salah satu ilmu pengetahun kehilangan sifat netralnya (HJ Sriyanto: 2008). Tentu saja anggapan yang berkembang di masyarakat tidak dapat disalahkan begitu saja. Anggapan itu muncul karena pengalaman yang kurang menyenangkan terhadap pembelajaran matematika. Anggapan bahwa matematika pelajaran yang sulit juga diperparah oleh sikap guru ketika pembelajaran berlangsung. Sikap guru yang pemarah, suka mencela, suka menghukum dan kalau mengajar terlalu cepat dan monoton memperparah kondisi ini.

Untuk menghilangkan persepsi pada siswa bahwa matematika sulit, harus dimulai dari diri guru. Pertama guru harus merubah paradigma pembelajaran tradisional ke paradigma pembelajaran progresif. Pada paradigma tradisional pembelajaran matematika disekolah cendrung didominasi oleh transfer pengetahuan. Materi yang banyak dan sulit, serta tuntutan untuk menyelesaikan materi pembelajaran telah membuat guru membelajarkan matematika dengan cepat tapi tidak mendalam. Pembelajaran matematika dilakukan dengan pola instruksi, bukan konstruksi dan rekonstruksi pengetahuan. Bahkan tanpa memberi kesempatan pada siswa untuk menentukan sendiri arah mana siswa ingin berekplorasidalam menemukan pengetahuan yang bermakna bagi dirinya.akibatnya pembelajaran matematika di sekolah hanya bersifat hafalan dan bukan melatih pola pikir. Kedua guru harus merubah paradigma tentang matematika. Matematika bukan sekedar alat bagi ilmu yang lain, tapi matematika juga merupakan aktivitas manusia. Hans Freudental berpendapat bahwa matematika merupakan aktivitas insani (mathematics as human activity). Menurutnya siswa tidak bisa di pandang sebagai penerima pasif matematika yang sudah jadi (passive receivers of ready-made mathematics). Siswa harus diberi kesempatan untuk menemukan kembali matematika di bawah bimbingan orang dewasa (Gravemeijer, 1994).

Selain itu guru dapat memberikan selingan ketika pembelajaran berlangsung. Selingan dalam pembelajaran matematika dapat berupa teka-teki matematika, permainan matematika dan menceritakan kisah-kisah matematika. Misalnya kisah thales yang ketika berda di Mesir, diminta oleh raja untuk menentukan tingginya sebuah piramid. Thales pun menanti suatu saat disiang hari ketika bayangan tubuhnya sama panjang dengan tinggi tubunya sendiri. Kemudian mengukur panjang banyangan piramid yang tentu saja sama panjang dengan tinngi piramid. Masih banyak tehnik lain untuk mengubah persepsi siswa tentang matematika. Karena matematika adalah aktivitas manusia, alangkah baiknya juga dalam pembelajaran matematika guru beraktivitas mempelajari dan mencari metode-metode baru dalam pembelajaran matematika. Sehingga guru tidak monoton pada metode-metode tertentu saja. Dengan kreatifitas guru diharapkan beberapa tahun mendatang matematika bukan lagi menjadi momok bagi siswa tapi justru menjadi pelajaran yang disenangi.


Selengkapnya...

Jujun S. Suriasumantri (2007:190) mengatakan, matematika merupakan bahasa yang melambangkan serangkaian makna dari pernyataan yang ingin kita sampaikan. Lambang-lambang matematika bersifat artifisial yang baru mempunyai arti setelah sebuah makna diberikan padanya, tanpa itu matematika hanya merupakan kumpulan rumus-rumus yang mati. Hal senada juga disampaikan oleh Evawati Alisah (2007: 23) matematika adalah sebuah bahasa, ini artinya matematika merupakan sebuah cara mengungkapkan atau menerangkan dengan cara tertentu. Dalam hal ini yang dipakai oleh bahasa matematika ialah dengan menggunakan simbol-simbol.


Menurut Soedjadi (1999) salah satu karakteristik matematika adalah matematika memiliki simbol yang kosong dari arti, hal ini memungkinkan matematika sebagai bahasa. Lebih lanjut Soejadi menjelaskan dalam matematika banyak sekali simbol yang digunakan baik berupa huruf maupun non huruf. Rangkaian simbol-simbol dalam matematika dapat membentuk suatu model matematika. Model matematika dapat berupa persamaan, pertidaksamaan, bangun geometri tertentu, dan sebagainya. Huruf-huruf yang dipergunakan dalam persamaan misalnya x + y = z, x,y, dan z belum tentu bermakna atau berarti bilangan, demikian juga tanda + belum tentu berarti tambah untuk dua bilangan. Makna huruf dan tanda itu tergantung dari permasalahan yang mengakibatkan terbentuknya model itu. Jadi secara umum huruf dan tanda dalam model matematika x +y =z masih kosong tanpa arti, terserah kepada yang akan memanfaatkan model itu. Kosongnya arti simbol maupun tanda dalam model matematika itu justru memungkin “intervensi” matematika ke dalam berbagai pengetahuan. Kosongnya arti itu memungkinkan matematika memasuki medan garapan dari ilmu bahasa (liguistik).


Selengkapnya...

Beberapa aspek dalam matematika yang mempunyai nilai didik adalah

a. Kesepakatan

Sadar ataupun tidak seseorang yang mempelajari matematika telah menggunakan kesepakatan-kesepakatan tertentu. Kesepakatan-kesepakatan itu terdapat dalam matematika yang rendah maupun yang tinggi. Kesepakatan-kesepakatan itu dapat berupa simbol atau lambang, istilah/konsep , definisi serta aksioma-aksioma.
Sebagai contoh bilangan yang selama ini digunakan , misaInya 1, 2, 3, dan seterusnya adalah lambang yang kita sepakati. Kesepakatan itu secara tidak disadari telah tertanam semenjak seseorang belajar di kelas satu sekoIah dasar atau bahkan taman kanak-kanak. Bilangan yang dilambangkan dengan dengan 2 disepakati disebut “dua” . Mengapa tidak disebut satu ? Itulah contoh kesepakatan yang ternyata selalu digunakan hingga sekarang.


Contoh lain adalah kata “segitiga” adalah istilah yang disepakati untuk menunjuk salah satu konsep dalam matematika. Konsep itu dibatasi oleh suatu ungkapan yang disebut definisi. Misalnya “bangun yang terjadi bila tiga buah titik yang tidak segaris dihubungkan oleh tiga buah ruas garis disebut segitiga. Ungkapan tersebut adalah saah satu definisi dan segitiga (jenis definis ginetik) dikatakan salah satu karenamasih dapat dibuat defenisi segitiga dengan kalimat yang berbeda. Definisi mana yang akan digunakan juga merupakan suatu kesepakatan

Sadar ataupun tidak dalam kehidupan kita sehari-hari terdapat banyak kesepakatan—kesepakatan, baik yang tertulis maupun yang tidak. Apabila seseorang berperilaku tidak sesuai dengan kesepakatan tertentu dalam lingkungan tertentu, tentulah ia dianggap sebagai seorang yang melanggar suatu aturan.
Dengan demikian seseorang yang telah dibiasakan belajar matematika yang penuh dengan kesepakatan yang harus ditaati, kiranya akan mudah memahami perlunya kesepakatan dalam kehidupan masyarakat. inilah salah satu aspek dalam matematika yang memiliki nilai didik (nilai paedagogik).

b. Ketaatasasan

Dalam uraian ini yang dimaksud dengan ketaatasasan atau konsistensi, adalah tidak dibenarkannya uncul kontradiksi. Hal tersebut dalam matematika (terutama yang berasas dikotomi) sangat penting dan harus dipertahankan.
Bila pernyataan “Melalui satu titik P diluar garis a dapat dibuat tepat satu garis sejajar dengan a”, diterimna sebagai pernyataan yang benar, maka pernyataan Jika garis a sejajar garis b dan garis p memotong garis a, maka garis p tidak memotong garis b” harus ditetapkan sebagai pernyataan yang salah. inilah salah satu contoh tentang konsistensi dalam matematika.

Dalam kehidupan bermasyarakat jelas bahwa sikap konsisten diperIukan.Bila tidak kiranya akan mudah terjadi benturan—benturan. Bukankah “ Pancasila dan UUD—45” dapat dipandang sebagai aksiotma yang merupakan kesepakatan nasional? Perlukan warga bangsa indonesia dalam perilakunya konsisten dengan itu? Jelas bahwa sikap konsisten sangat diperlukan dalan bermasyarakat dan berbangsa.
seseorang yang telah terbiasa berpikir rnatematik, tidak terlalu sulit untuk memahami perlunya sikap konsisten dan bahkan tidak sulit melihat inkonsistensi yang terjadi dalarn kehidupan. Sekali lagi terlihat bahwa matematika melalui aspek ketaatasasan atau konsistensi secara implisit maupun eksplisit dapat membantu membentuk tata—nalar serta prihadi siswa.

c. Deduksi

Secara sederhana makna deduksi adalah proses menurunkan atau menerapkan pengertian atau sifat umum kedalam keadaan khusus. dalam matematika pola pikir deduktif itulah yang diterima. Namun dalam pendidikan matematika pola pikir induksi juga dapat diterima sepanjang diperlukan untuk menyesuaian bahan ajar dengan perkembangan intelektual siswa.

Perhatikan dua kalimat di bawah ini.
“Jika suatu segitiga mempunyai tiga sisi sama maka segitiga itu disehut segitiga samasisi”
“Jika suatu segitiga mempunyai tiga buah sudut sama besar maka segitiga itu disebut segitiga samasisi”

kedua kalimat tersebut dapat, dipandang sebagai ungkapan yang membatasi konsep segitiga samasisi. Jadi suatu definisi Kalan dicermati akan terlihat bahwa kedua definisi itu mempunyai intensi yang berbeda tetapi mempunyai ekstensi/jangkauan yang yang sama. Namun dalam matematika tidak dibenarkan keduanya ditetap sebagai definisi dalam satu struktur uraian). Mengapa? Coba pikirkan, jika kalimat pertama yang ditetapkan sebagai definisi segitiga sama sisi; dapatkah kebenaran kalimat kedua dibuktikan dengan menggunakan kalimat pertama?. Dan sebaliknya bagaimana? Jadi salah satu harus ditetapkan sebagai teorema. Itu adalah salah satu bentuk pemikiran deduktif

Pola pikir deduksi dalam kehidupan bermasyarakat diperlukan. coba amati dan pikirkan jenjang perundang-undangan dalam kehidupan kita. Kita kenal “Undang—undang” , Peraturan pemerintah” , “Keputusan Menteri “, “Keputusan Dirjen”, dsb. Bukankah dalam hal tertentu “yang satu merupakan penjabaran atau aturan pelaksanaan’ dari yang lebih tinggi? Bukankah untuk menyatakan benarnya yang satu harus dirujukkan kepada aturan yang lebih tinggi?. Jadi dalam kehidupan bermasyarakat dan bernegarapun perlu pola pikir deduktif.

d. Semesta

Dalam matematika terdapat simbol-simbo atau lambang yang dikosongkan maknanya. Apakah makna x. y, z itu ?? Terserah kepada sipemakai, akan diberi makna apa. mungkin diberi makna bilangan, mungkin diberi makna vektor, mungkin diberi makna pernyataan,dsb. sesuai dengan kebutuhan pemakai. Hal itu menunjukkan adanya lingkup pembicaraan, yang dapat juga disebut semesta pembicaraan.
Dalam pelajaran matematika disadari atau tidak terdapat banyak contoh atau soal yang sangat memperhatikan semesta. Bila semesta yang ditetapkan tidak diperhatikan sangat besar kemungkinan jawab yang diberikan akan salah.

Sebagai contoh:
Tulislah lambang bilangan asli yang sesuai dalam kotak, sehingga kalimat menjadi benar.
5+2 ´ – = 10 , Kalau tidak disadari semestanya, tidak mustahil akan dijawab 2,5. Benarkah ?

Adakah manfaat pengertian semesta dalam kehidupan?. Tentulah tidak sulit disadari bahwa manusia di bumi ini terkelompok-kelompok menjadi bangsa-bangsa, menjadi suku-bangsa, menjadi satuan organisasi dan sebagainya. Dalam masing-masing kelompok tersebut berlaku suatu aturan tertentu. Seseorang yang akan melakukan tindakan atau melontarkan kata-kata tertentu perlu memperhatikan dimana dia berada, di lingkup mana dia berada. secara umum dapat dikatakan perlu menyesuaikan diri. Bila anda mengendari mobil di Indonesia anda harus berjalan di sebelah kiri jalan. Bagaimana halnya bila anda mengendarai mobil di Amerika Serikat? (disadur dari Soedjadi, 1994: 3-9).

Kalau aspek-aspek yang telah dijelas diatas dapat kita eksplisitkan dalam pembelajaran matematika, maka akan terasa bahwa pembelajaran matematika mempunyai nilai didik.


Selengkapnya...

A. Hakikat Matematika

Banyak ahli yang mengartikan pengertian matematika baik secara umum maupun secara khusus. Herman Hudojo menyatakan bahwa: “matematika merupaka ide-ide abstrak yang diberi simbol-simbol itu tersusun secara hirarkis dan penalarannya dedukti, sehingga belajar matematika itu merupakan kegiatan mental yang tinggi.”.[1] Sedangkan James dalam kamus matematkanya menyatakan bahwa “Matematika adalah ilmu tentang logika mengenai bentuk, susunan, besaran dan konsep-konsep berhubungan lainnya dengan jumlah yang banyak yang terbagi ke dalam tiga bidang, yaitu aljabar, analisis dan goemetri.”[2]


Paling dalam Mulyono Abdurahman mengemukakan bahwa matematika adalah suatu ara untuk menemukan jawaban terhadap masalah yang dihadapi manusia; suatu cara menggunakan informasi, menggunakan pengetahuan tentang betuk dan ukuran, menggunakan pengetahuan tentang menghitung, dan yang paling penting adalah memikirkan dalam diri manusia itu sendiri dalam melihat dan menggunakan hubungan-hubungan.[3]


Matematika dikenal sebagai ilmu dedukatif, karena setiap metode yang digunakan dalam mencari kebenaran adalah dengan menggunakan metode deduktif, sedang dalam ilmu alam menggunakan metode induktif atau eksprimen. Namun dalam matematika mencari kebenaran itu bisa dimulai dengan cara deduktif, tapi seterusnya yang benar untuk semua keadaan hars bisa dibuktikan secara deduktif, karena dalam matematika sifat, teori/dalil belum dapat diterima kebenarannya sebelum dapat dibuktikan secara deduktif.

Matematika mempelajari tentang keteraturan, tentang struktur yang terorganisasikan, konsep-konsep matematika tersusun secara hirarkis, berstruktur dan sistematika, mulai dari konsep yang paling sederhana sampai pada konsep paling kompleks.

Dalam matematika objek dasar yang dipelajari adalah abtrak, sehingg disebut objek mental, objek itu merupakan objek pikiran. Objek dasar itu meliputi:

a. Konsep, merupakan suatu ide abstrak yang digunakan untuk menggolongkan sekumpulan obejk. Misalnya, segitiga merupakan nama suatu konsep abstrak. Dalam matematika terdapat suatu konsep yang penting yaitu “fungsi”, “variabel”, dan “konstanta”. Konsep berhubungan erat dengan definisi, definisi adalah ungkapan suatu konsep, dengan adanya definisi ornag dapat membuat ilustrasi atau gambar atau lambing dari konsep yang dimaksud.

b. Prinsip, merupakan objek matematika yang komplek. Prinsip dapat terdiri atas beberapa konsep yang dikaitkan oleh suatu relasi/operasi, dengan kata lain prinsip adalah hubungan antara berbagai objek dasar matematika. Prisip dapat berupa aksioma, teorema dan sifat.

c. Operasi, merupakan pengerjaan hitung, pengerjaan aljabar, dan pengerjaan matematika lainnya, seperti penjumlahan, perkalian, gabungan, irisan. Dalam matematika dikenal macam-macam operasi yaitu operasi unair, biner, dan terner tergantungd ari banyaknya elemen yang dioperasikan. Penjumlahan adalah operasi biner karena elemen yang dioperasikan ada dua, tetapi tambahan bilangan adalah merupakan operasi unair karena elemen yang dipoerasika hanya satu.[4]


B. Tujuan Pengajaran Matematika

Dalam kegiatan belajar mengajar, dikenal adanya tujuan pengajaran, atau yang sudah umum dikenal dengan tujuan instruksional. Bahkan ada juga yang meyebutnya pembelajaran.

Pengajaran merupakan perpaduan dari dua aktivitas mengajar dan aktivitas belajar. Aktivitas menghajar menyangkut peranan guru dalam konteks mengupayakan terciptanya jalinan komunikasi harmonis antara belajar dan mengajar. Jalinan komunikasi ini menjadi indikator suatu aktivitas atau proses pengajaran yang berlangsung dengan baik.

Dengan demikian tujuan pengajaran adalah tujuan dari suatu proses interaksi antara guru dan siswa dalam kegiatan belajar mengajar dalam rangka mencapai tujuan pendidikan.

Matematika sebagai salah satu ilmu dasar, dewasa ini telah berkembang pesat baik meteri maupun kegunaannya. Mata pelajaran matematika verfungsi melambnagan kemampuan komunikasi dengan menggambarkan bilangan-bilangan dan simbol-simbol serta ketajaman penalaran yang dapat memberi kejelasan dan menyelesaikan permasalahan dalam kehidupan sehari-hari.

Adapun tujuan dari pengajaran matematika adalah:

1. Mempersiapkan siswa agar sanggup menghadapi perubahan keadaan dan pola piker dalam kehidupan dan dunia selalu berkembang, dan

2. Mempersipakn siswa meggunakan matematika dan pola piker matematika dalam kehidupan sehari dan dalam mepelajari berbagai ilmu pengetahuan.[5]

Dari uraian di atas jelas bahwa kehidupan I dunia ini akan terus sesuai dengan perkembangan ilmu pengetahuan dan teknologi/ oleh karena itu siswa harus memiliki kemampuan memperoleh, memilih dan mengelola informasi untuk bertahan pada keadaan yang selalu berubah. Kemampuan ini membutuhkan pemikiran yang kritis, sistematis, logis, kratif dan kemamuan bekerja sama yang efektif. Dengan demikian, maka seorang guru harus terus mengikuti perkembangan matematika dan selalu berusaha ahar kreatif dalam pembelajaran yang dilakukan sehingga dapat membawa siswa ke arah yang diinginkan.

Namun secara khusus tujuan kurikuler pengajaran matematika adalah sebagai berikut:

1. Melatih cara berfikir dan bernalar dalam menerik kesimpulan, misalnya melalui kegiatan penyelidikan, eksplorasi, eksprimen, menunjukkan kesamaan, perbedaan, konsisten dan ekonsisten.

2. Mengembangkan aktivitas kreatif yang melibatkan imajinasi, intuisi dan penemuan dengan mengembangkan pemikiran divergen, orisinil, rasa ingin tahu, mebuat predeksi serta mencoba-coba.

3. Mengembangkan kemampuan memecahkan masalah.

4. Mengembangkan kemampuan menyampaikan informasi atau mengkomunikasikan gagasan antara lain melalui pembicaraan lisan, catatan ngrafik, peta, diagram dalam menjelaskan gagasan.[6]

Melatih cara berfikir dan bernalar dalam pembelajaran matematika sangatlah penting. Hal ini sejalan dnega pendapat Soedjadi bahwa “salah satu karakteristik matematika adalah berpola piker deduktif yang merupakan salah satu tujuan yang bersifat formal, yang memberi tekanan kepada penataan nalar.”[7] Meskipun pola pikir ini penting, namun dalam pembelajaran matematika terutama pada jenjang SD dan SLTP masih diperlukan pola pikir deduktif, sedangkan jenjang sekolah menengag penggunaan pola pikir induktif dalam penyajian suatu topic sudah semakn dikurangi. Di samping cara berpikir, dalam proses pembelajaran siswa juga dilatih untuk mengembagkan kreatifitasnya melalui imajinasi dan intuisi. Setiap siswa punya kemampuan yang berbeda-beda dalam memandang suatu permasalahn yang dikembangkan, inilah yang disebut dengan pemikiran divergen yang perlu terus dikembangkan.

Berdasarkan penjelasan tujuan pengajaran di atas dapat dimengerti bahwa matematika itu bukan saja dituntut sekedar menghitung, tetapi siswa juga dituntut agar lebih mampu menghadapi berbagai masalah dalam hidup ini. Masalah itu baik mengenai matematika itu sendiri maupun masalah dalam lmu lain, serta dituntut suatu disiplin ilmu yang sangat tinggi, sehingga apabila telah memahami konsep matematika secara mendasar dapat diterapkan dalam kehidupan sehari-hari.


[1] Herma Hudojo, Strategi Belajar Mengajar, (Malang: IKIP 1990), hal. 2.


[2] Erman Suherman. dkk. Strategi Pembelajaran Matematika Kontemporer, (Bandung: Jica, 2001), hal 19.


[3] Mulyono Abdurrahman, Pendidikan bagi Anak Berkesulitan Belajar, (Jakarta: Rineka Cipta, 2003), hal. 252.

[4] R. Soedjadi, Kiat Pendidikan Matematika di Indonesia, (Jakarta: Direktorat Jendral Pendidikan NAsional, 2000), hal 13-15

[5] R. Soedjadi, Kiat Pendidikan Matematika di Indonesia, (Jakarta: Direktorat Jendral Pendidikan Tinggi, 2000), hal. 43

[6] Departemen Pendidikan Nasional, Kurikulum 2004 Standar Kompetensi Mata Pelajaran Matematrika Sekolah Menengah Atas dan MA, (Jakarta: Depdiknas, 2003), hal. 11.

Selengkapnya...

I. Pendahuluan

Menurut Dimyati (2002:295) belajar merupakan proses melibatkan manusia secara orang per orang sebagai satu kesatuan organisme sehingga terjadi perubahan pada pengetahuan, ketrampilan dan sikap. Anggapan siswa bahwa mata pelajaran Matematika adalah “teori “, ungkapan tersebut juga benar, tetapi bukan teori belaka tanpa ada maksud/tujuan. Bahwa teori adalah hal penting, juga diungkapkan oleh S. Nasution (1996:3), teori merupakan alat science yang penting sekali. Fungsinya antara lain :
Teori mengarahkan perhatian

Teori merangkum pengetahuan.

Teori meramalkan fakta.

Pada dasarnya, matematika adalah pemecahan masalah karena itu, matematika sebaiknya diajarkan melalui berbagai masalah yang ada disekitar siswa dengan memperhatikan usia dan pengalaman yang mungkin dimiliki siswa.

Berdasarkan tujuan/keinginan untuk meningkatkan pemahaman siswa terhadap matematika dan meminimalkan anggapan-anggapan negatif terhadap matematika yang membuat para ahli pendidikan matematika di Indonesia berupaya mencari terobosan baru menemukan metode pembelajaran matematika lain dengan mengacu pada pengalaman di negara lain dan dengan melihat karakteristik yang dimungkinkan dapat diujicobakan juga di Indonesia.

Ada 3 pendekatan yang cukup mendasar, yaitu “pemecahan masalah” atau “problem solving” yang mendapat keutamaan di Jepang, “contextual teaching and learning” ataupun “connected mathematics” yang mulai dilaksanakan di sebagian Amerika dan “Realistic Mathematics Education” yang sudah melalui proses ujicoba dan penelitian lebih dari 25 tahun di Belanda.(R.Soedjadi,2001).

Adapun tujuan yang akan dicapai dari penelitian ini adalah :
Mengetahui ada tidaknya pengaruh pembelajaran matematika dengan pendekatan realistik yang dipadu dengan metode pembelajaran kooperatif tipe Jigsaw terhadap prestasi belajar matematika .

Mengetahui ada tidaknya pengaruh sikap siswa dalam pembelajaran matematika dengan pendekatan realistik yang dipadu dengan metode pembelajaran kooperatif tipe Jigsaw terhadap prestasi belajar.

Hasil penelitian ini diharapkan dapat memberi manfaat :

Menemukan langkah-langkah pembelajaran matematika dengan pendekatan realistik yang dipadu dengan metode pembelajaran kooperatif tipe Jigsaw ‘

Memberikan pengalaman baru tentang model pembelajaran matematika yang dapat meningkatkan pemahaman siswa tentang manfaat matematika dalam kehidupan sehari-hari.


II. Metode Penelitian

A. Rancangan Penelitian

Peneliti dengan dibantu guru matematika mengadakan pembelajaran matematika dengan pendekatan realistik di kelas dengan garis besar tahapan sebagai berikut :

1. Sebelum memulai pembelajaran matematika realistik, diawali dengan pembagian kelompok siswa dengan metode Jigsaw, yaitu kelas dibagi menjadi beberapa kelompok dengan kemampuan yang seimbang.Selanjutnya, setiap kelompok menunjuk salah satu anggotanya yang nanti masuk ke kelompok ahli.

2. Diawali dengan masalah kontekstual (sebagai karakteristik dalam pembelajaran matematika realistik), dilakukan untuk siswa keseluruhan atau kelompok siswa, dengan soal yang berbeda-beda sesuai jumlah anggota kelompok, sebagai awal dalam pembelajaran tentang Sistem Persamaan Linier satu variabel, misalnya :

Ali membeli satu kue tar dengan harga Rp. 9.000. Harga itu setelah mendapat potongan 25 % . Berapakah harga satu kue tar tanpa potongan ?

3. Memberi pause/berpikir sejenak pada siswa untuk memecahkan masalah tersebut.

4. Siswa dalam kelompok yang berbeda dengan soal yang sama berkumpul menjadi satu kelompok untuk membahas permasalahan yang sama.

5. Peneliti/guru berkeliling dan mengamati pekerjaan siswa serta memberikan petunjuk seperlunya.

6. Setelah selesai berdiskusi, siswa kembali ke kelompoknya masing-masing untuk mengadakan diskusi keseluruhan.

7. Selanjutnya, setiap kelompok menyajikan hasil pekerjaan kelompoknya. Kemudian bersama-sama merumuskan konsep atau kesimpulan.

8. Setelah semua proses pembelajaran dengan pendekatan realistik dilaksanakan beberapa kali, diadakan tes dan dikerjakan sendiri oleh masing-masing siswa.

9. Kemudian hasil tes dievaluasi dan dianalisis untuk mengetahui sejauh mana pemahaman siswa tentang Sistem Persamaan Linier Satu Variabel dengan menggunakan pendekatan realistik.

10. Membuat angket untuk mendapatkan informasi tentang sikap siswa terhadap ujicoba pembelajaran matematika realistik yang dipadu pembelajaran kooperatif tipe jigsaw pada pokok bahasan Sistem Persamaan Linier Satu Variabel.

B. Populasi , Sampel dan Teknik Pengambilan Sampel


Sebagai populasi dalam penelitian ini adalah siswa kelas VII SMP . Karena jumlah populasi tersebut tidak terlalu banyak, maka semua anggota populasi dijadikan sampel penelitian ini.

C. Jenis Data dan Alat Pengumpul Data


Data yang akan diperoleh dari penelitian ini berupa hasil observasi dalam pembelajaran, sikap siswa terhadap pelaksanaan pembelajaran matematika realistik yang dipadu tipe jigsaw dan hasil prestasi belajar siswa setelah mengikuti pembelajaran matematika realistik tersebut yang berupa skor tes.

Adapun untuk memperoleh data sebagaimana yang dimaksud, peneliti menggunakan lembar pengamatan (observasi) di kelas selama proses pembelajaran matematika realistik, lembar angket dan soal tes.

D. Teknik Analisis Data


Data yang diperoleh dalam penelitian ini adalah data kuantitatif, yaitu berupa skor (nilai) dari hasil pengerjaan siswa pada tes kemampuan matematika siswa pokok bahasan Sistem Persamaan Linier Satu Variabel dan Sistem Pertidaksamaan Linier Satu Variabel yang terlibat dalam penelitian dan skor angket sikap siswa dalam pembelajaran Matematika realistik yang dipadu pembelajaran kooperatif tipe Jigsaw.

Dalam penelitian ini, teknik analisis data yang digunakan adalah analisis statistika dan uraian berbentuk naratif. Untuk analisis secara statistika, jenis statistika yang dipilih adalah statistik deskrptif dan digunakan uji –t , dengan mengetahui terlebih dahulu syarat-syarat penggunaan uji-t tersebut.

Pengolahan data dalam penelitian ini dilakukan dengan SPSS 10, dengan langkah-langkah sebagai berikut :

1. Uji Normalitas dan Uji Homogenitas

Dalam penelitian ini, pengujian normal tidaknya distribusi data akan digunakan uji Shapiro Wilks dan Lilliefors (atau Kolmogorov Smirnov) (Santoso, 2003:152). Jika sampel yang diperoleh berasal dari populasi berdistribusi normal, maka langkah pengujian dilanjutkan dengan uji homogenitas (kesamaan varians). Jika sampel yang diperoleh bukan berdistribusi normal, maka pengujian dilanjutkan dengan statistik non parametrik.

Dalam Santoso (2003:168), penjelasan untuk output Test of Normality sebagai berikut :

Pedoman pengambilan keputusan :

• Nilai Sig. Atau Signifikansi atau nilai probabilitas < 0,05, Distribusi adalah tidak normal (simetris)

• Nilai Sig. Atau Signifikansi atau nilai probabilitas > 0,05, Distribusi adalah normal (simetris)

Uji homogenitas yang digunakan dalam penelitian ini, yaitu uji Levene (Levene Test).

Sedangkan untuk hasil uji homogenitas (output test of Homogenity of Variance), pedoman pengambilan keputusannya sebagai berikut :

• Nilai Sig. Atau Signifikansi atau nilai probabilitas < 0,05, data berasal dari populasi-populasi yang mempunyai varians tidak sama.

• Nilai Sig. Atau Signifikansi atau nilai probabilitas > 0,05, data berasal dari populasi-populasi yang mempunyai varians sama.

2. Menguji Hipotesis

Untuk pengujian hipotesis perbedaan kemampuan Matematika siswa, dibagi :

a. sampel berdistribusi normal

Uji yang digunakan adalah uji –t atau uji Chi-Square.

Hipotesis untuk kasus tersebut :

H0 : Tidak ada perbedaan antara kemampuan Matematika siswa kelompok eksperimen dan kelompok kontrol.

H1 : Ada perbedaan antara kemampuan Matematika siswa kelompok eksperimen dan kelompok kontrol.

Dasar pengambilan keputusan :

Jika nilai probabilitas > 0,05 maka H0 diterima

Selengkapnya...

Pernahkah Kita berpikir tentang susunan bilangan berikut? Memang tidak terlalu penting sih…
Tapi…tidak disangka-sangka ajaib sekali. Bukan kebetulan, tapi itulah sebenarnya matematika. Banyak hal yang akan kita dapatkan kalau kita mau mempelajari matematika.


Satu
0 x 9 + 0 = 0
1 x 9 + 1 = 10
12 x 9 + 2 = 110
123 x 9 + 3 = 1110
1234 x 9 + 4 = 11110
12345 x 9 + 5 = 111110
123456 x 9 + 6 = 1111110
1234567 x 9 + 7 = 11111110
12345678 x 9 + 8 = 111111110
123456789 x 9 + 9 = 1111111110
Ini belum apa-apa…
Perhatikan juga ini

Dua
1 x 1 = 1
11 x 11 = 121
111 x 111 = 12321
1111 x 1111 = 1234321
11111 x 11111 = 123454321
111111 x 111111 = 12345654321
1111111 x 1111111 = 1234567654321
11111111 x 11111111 = 123456787654321
111111111 x 111111111 = 12345678987654321

Tiga
1 x 8 + 1 = 9
12 x 8 + 2 = 98
123 x 8 + 3 = 987
1234 x 8 + 4 = 9876
12345 x 8 + 5 = 98765
123456 x 8 + 6 = 987654
1234567 x 8 + 7 = 9876543
12345678 x 8 + 8 = 98765432
123456789 x 8 + 9 = 987654321

Empat
1 x 18 + 1 = 19
12 x 18 + 2 = 218
123 x 18 + 3 = 2217
1234 x 18 + 4 = 22216
12345 x 18 + 5 = 222215
123456 x 18 + 6 = 2222214
1234567 x 18 + 7 = 22222213
12345678 x 18 + 8 = 222222212
123456789 x 18 + 9 = 2222222211

Lima
123456789 + 987654321 = 1111111110
1 x 142857 = 142857 (angka sama)
2 x 142857 = 285714 (angka sama beda urutan )
3 x 142857 = 428571 (angka sama beda urutan)
4 x 142857 = 571428 (angka sama beda urutan )
5 x 142857 = 714285 (angka sama beda urutan)
6 x 142857 = 857142 (angka sama beda urutan)
7 x 142857 = 999999 ( wow……suatu hasil yang Fantastis )

Enam
Bilangan sembarang jika dikalikan 9 maka jumlah hasilnya = 9
kita buktikan…..
1 x 9 = 9
2 x 9 = 18, jumlah 1 + 8 = 9
3 x 9 = 27, jumlah 2 + 7 = 9
4 x 9 = 36, jumlah 3 + 6 = 9
dst. sampai tak terhingga …..

Tujuh
22 x 9 = 198,
cara cepatnya 2 x 9 = 18, lalu selipkan angka 9 ditengah, jadi 198….okbuktikan sendiri cara cepatnya berikut ini…
33 x 9 = 297, cara cepat 3 x 9 = 27, selipkan 9 ditengah
44 x 9 = 396
55 x 9 = 495
66 x 9 = 594
77 x 9 = 693
88 x 9 = 792
99 x 9 = 891 lalu bagaimana dengan 3 angka kembar yach ….???
sama aja tuch tinggal selipkan 99 ditengahnya….
gak percaya ….kita buktikan yach…
222 x 9 = 1998, cara cepat 2 x 9= 18, selipkan 99 ditengah
333 x 9 = 2997
444 x 9 = 3996
555 x 9 = 4995

Ada yang menemukan lainnya lagi…..???
Hebat kan Matematika???…
Selengkapnya...